FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

 

OPERASI KOMPOSISI DAN OPERASI INVERS PADA FUNGSI

 

PENGANTAR :

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

 

STANDAR KOMPETENSI    : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu

                                                            fungsi.

KOMPETENSI DASAR         : 5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi

5.2  Menentukan invers suatu fungsi

TUJUAN PEMBELAJARAN :   

1.      Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat    dikomposisikan

2.      Menentukan fungsi komposisi  dari beberapa fungsi.

3.      Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.

4.      Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.

5.      Menjelaskan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.

6.      Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi  asalnya

7.      Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.

8.      mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers.

KEGIATAN BELAJAR      : 

       I.      Judul sub kegiatan belajar :

1.      Pengertian Fungsi

2.      Komposisi Fungsi

3.      Sifat-sifat Komposisi Fungsi

4.      Fungsi invers

    II.      Uraian materi dan contoh

1.      Pengertian Fungsi

Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Domain     = daerah asal (D)

Kodomain = daerah kawan (K)

Range        = daerah hasil (R)

 

      Notasi Fungsi

Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domain

B disebut kodomain

 

      Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x Î A ke y Î B dikatakan  y adalah  

         peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x Î A

disebut range atau daerah hasil

 

      Contoh 1

Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2

Tentukan domain dari fungsi f.

      Jawab

Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.

1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.

Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1.

    

     Contoh 2

Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x

Tentukan : a. f(x)

                  b. f(-3)

    Jawab

         Misal y = x – 1 maka x = y + 1

karena f(x – 1) = x2 + 5x

maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)

         f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5

         f(y) = y2 + 7y + 6

         f(y) = y2 + 7y + 6

  a. f(x)    = x2 + 7x + 6

  b. f(-3)  = (-3)2 + 7(-3) + 6

               = 9 – 21 + 6

               = -6 

 

Contoh 3:        

Fungsi f : A         B tentukan domain, kodomain dan range

 

Domain     = {a,b,c}

Kodomain = {1,2,3,4}

Range        = {1,3,4}

 

      2. Komposisi Fungsi

            Pengertian

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.

Misalkan: f : A  ®  B dan g : B ®  C

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

 

Contoh 1:

Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut

f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukanlah: a) (f o g)   b) (g o f)          c) (f o g)(1)      d) (g o f)(4)

Jawab:

a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,2), (4,3)}

c) (f o g)(1) = 4                                      d) (g o f)(4) = 3

 

Contoh 2:

f : R ® R ; f(x) = 2x² +1,   g : R ® R ; g(x) = x + 3

Tentukan : a) (f o g)(x)              b) (g o f)(x)            c) (f o g)(1)       d) (g o f)(1)

Jawab :
(f o g)(x)  = f(g(x))

= f(x+3)

= 2(x+3)²+1

= 2(x² + 6x + 9) + 1

= 2x²+12x+19

(g o f)(x)  = g(f(x))

= g(2x²+1)

= 2x² + 1 + 3

= 2x² + 4

(f o g)(1)   = f(g(1))

= f(4)

= 2. (4)² +1

= 2.16 + 1

= 33

(g o f)(1)   = g(f(1))

= g(3)

= 3 + 3

= 6

Contoh 3:

Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.

f : A → B dengan f(x) = -x + 1;  g : B → C dengan g(x) = x² dan

h = g o f : A → C.

Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!

h(x) =  (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)²

h(x) = 64 → (-x + 1)² = 64 ↔ -x + 1 = ± 8

-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9

Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

 

3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

 

Contoh 4:

Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x² + 2, I(x) = x

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x² + 2) = 3 – (x² + 2) = 1 - x²

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)        

 

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x² + 2)= 7 – 2(x² + 2) = 3 - 2x²

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x²)= 2(1 - x²) + 1 = 2 – 2 x² + 1 = 3 – 2 x²

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   

 

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

 

4.  Fungsi Invers